线性代数的本质(Essence of linear algebra)

向量

空间的一组基的严格定义是这样的:

张成该空间的一个线性无关向量的集合

  • 单个向量:箭头表示
  • 多个向量:点表示

变换

\[ 变换 == 函数 \]

\[ y = f(x) \]

  • IN: 向量(x)
  • OUT: 向量(y)

为什么叫 变换

因为使用“变换”是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系

运动 => 向量的函数

线性变换

  1. 直线在变换后仍然保持为直线,不能有所弯曲
  2. 原点必须保持固定

基向量

直观

矩阵乘法

复合变换 -> 复合函数

行列式

线性变换改变面积的比例。

  • 行列式为 \(0\) => 空间压缩到更小的维度
  • 当空间定向改变的情况发生时,行列式为

计算行列式

  • \(a\)\(x\) 轴伸缩比例
  • \(b\): 对角方向 拉伸/压缩 比例
  • \(c\): 对角方向 拉伸/压缩 比例
  • \(d\)\(y\) 轴伸缩比例

二阶行列式

三阶行列式

平行六面体的体积

矩阵

\(A\) 代表变换矩阵

逆矩阵

恒等变换:单位矩阵

\[ A^{-1}A = I \]

逆乘以 \(A\)

  • 列空间:矩阵的列所张成的空间
  • :列空间的维数(变换后空间的维数)

矩阵乘法

变换矩阵

  • :变换后的独立坐标
  • :变换前的基向量
  • 零空间/核:变换后落在 原点 的向量的集合

2 列 -> 3 行
=>
2 维 -> 3 维

点积(数量积/标量积)

一种接受两个等长的数字序列(通常是坐标向量)、返回单个数字的代数运算

  • 内积:两个笛卡尔坐标向量的点积常称为内积

代数定义

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}^T \]

几何定义

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \; \]

  • \(|\vec{a}|\):模长
  • \(\theta\):夹角

叉积

面积

求行列式

方向(右手定则)

特征向量 和 特征值 Eigenvectors and eigenvalues

  • 特征向量:线性变换[a]之后,得到的新向量仍然与原来的向量保持在同一条直线上

  • 特征值:特征向量的长度在该线性变换下 缩放 的比例

  • 特征基:一组基向量(也是特征向量)构成的集合

抽象向量空间

函数 => 向量特性

Addtion
Scaling

向量

Vector_Operation

函数

Function_Operation

导数:函灵敏的线性变换

Derivative

线性

线性变换保持向量 加法 运算和 数乘 运算

求导是线性的

基函数

矩阵求导

线性代数 vs 函数

向量空间

类似向量的事物

  • 箭头 (物理)
  • 一组数 (计算机)
  • 函数
  • ...

公理

在这里观看完整的“线性代数的本质”播放列表:https://goo.gl/R1kBdb