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《数据结构与算法之美》-3-堆（heap）

算法

  • 堆是一个完全二叉树；
  • 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

堆（完全二叉树）

比较适合用数组来存储

插入一个元素

堆化（heapify）

  • 从下往上


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public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) { return; } // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

删除堆顶元素

  • 从上往下

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public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

一个包含 \(n\) 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 \(\log_{2}n\)。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 \(O(\log n)\)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 \(O(\log n)\)。

堆排序

建堆


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private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

对下标从 \(\frac{n}{2}\) 开始到 \(1\) 的数据进行堆化，下标是 \(\frac{n}{2}+1\) 到 \(n\) 的节点是叶子节点，不需要堆化。

对于完全二叉树来说，下标从 \(\frac{n}{2}+1\) 到 \(n\) 的节点都是叶子节点。

排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 \(n\) 的位置。

这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，下标为 \(n\) 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 \(n-1\) 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 \(n-1\) 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 \(1\) 的一个元素，排序工作就完成了。

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// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

快速排序要比堆排序性能好？

  • 堆排序数据访问的方式没有快速排序友好
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1 -> 2 -> 4 -> 8

  • 对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序

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堆的应用

  • 优先级队列
    • 依赖
      • 赫夫曼编码
      • 图的最短路径
      • 最小生成树算法
    • 具体
      • 合并有序小文件
      • 高性能定时器
  • 利用堆求 Top K
    • \(n\) 个数据的数组中，查找前 \(K\) 大数据
      • 维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组
  • 利用堆求中位数
    • 1 个大顶堆，1 个小顶堆
    • 百分位数

删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度都是 \(O(\log n)\)，\(n\) 表示堆中的数据个数。

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## 小结

堆是一种完全二叉树。

它最大的特性是：每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子树节点的值。因此，堆被分成了两类，大顶堆和小顶堆。

堆中比较重要的两个操作是插入一个数据和删除堆顶元素。这两个操作都要用到堆化。插入一个数据的时候，新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；删除堆顶数据的时候，数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作时间复杂度都是 \(O(\log n)\)。

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除此之外，我们还讲了堆的一个经典应用，堆排序。堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从 \(\frac{n}{2}\) 到 \(1\) 的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，我们迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。

堆的几个重要的应用，它们分别是：优先级队列、求Top K问题和求中位数问题。

优先级队列是一种特殊的队列，优先级高的数据先出队，而不再像普通的队列那样，先进先出。实际上，堆就可以看作优先级队列，只是称谓不一样罢了。求Top K问题又可以分为针对静态数据和针对动态数据，只需要利用一个堆，就可以做到非常高效率的查询Top K的数据。求中位数实际上还有很多变形，比如求99百分位数据、90百分位数据等，处理的思路都是一样的，即利用两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，随着数据的动态添加，动态调整两个堆中的数据，最后大顶堆的堆顶元素就是要求的数据。

除此之外，我们还讲了堆的一个经典应用，堆排序。堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从 \(\frac{n}{2}\) 到 \(1\) 的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，我们迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。
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