2020-04-08

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《数据结构与算法之美》-4-图（Graph）

顶点（vertex）：图中的元素
边（edge）：一个顶点与任意其他顶点建立连接关系
度（degree）：跟顶点相连接的边的条数
- 入度（In-degree）
- 出度（Out-degree）
有向图：边有方向的图
无向图：边没有方向的图

邻接矩阵存储方法

图最直观的一种存储方法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。

邻接矩阵的底层依赖一个二维数组。对于无向图来说，如果顶点i与顶点j之间有边，我们就将 A[i][j] 和 A[j][i] 标记为 1；对于有向图来说，如果顶点i到顶点j之间，有一条箭头从顶点i指向顶点j的边，那我们就将 A[i][j] 标记为 1。同理，如果有一条箭头从顶点 j 指向顶点i的边，我们就将 A[j][i] 标记为 1。对于带权图，数组中就存储相应的权重。

稀疏图（Sparse Matrix）浪费存储空间。

邻接表存储方法

邻接表（Adjacency List）

逆邻接表

哈希算法等数据分片方

数据库存储

无向图代码

public class Graph { // 无向图
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
    adj[s].add(t);
    adj[t].add(s);
  }
}

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search），它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

public void bfs(int s, int t) {
  if (s == t) return;
  boolean[] visited = new boolean[v];
  visited[s]=true;
  Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
  queue.add(s);
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  while (queue.size() != 0) {
    int w = queue.poll();
   for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
      int q = adj[w].get(i);
      if (!visited[q]) {
        prev[q] = w;
        if (q == t) {
          print(prev, s, t);
          return;
        }
        visited[q] = true;
        queue.add(q);
      }
    }
  }
}

private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径
  if (prev[t] != -1 && t != s) {
    print(prev, s, prev[t]);
  }
  System.out.print(t + " ");
}

visited 是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点q被访问，那相应的 visited[q] 会被设置为 true。

queue 是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第k层的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点来找第 k+1 层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

prev 用来记录搜索路径。当我们从顶点s开始，广度优先搜索到顶点t后，prev数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w] 存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点2的邻接表访问到顶点3，那 prev[3] 就等于 2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，你可以看下 print() 函数的实现方式。

最坏情况下，终止顶点t离起始顶点s很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是O(V+E)，其中，V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E肯定要大于等于V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为O(E)。

广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量visited数组、queue队列、prev数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。

boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) {
  found = false;
  boolean[] visited = new boolean[v];
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  recurDfs(s, t, visited, prev);
  print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
  if (found == true) return;
  visited[w] = true;
  if (w == t) {
    found = true;
    return;
  }
  for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
    int q = adj[w].get(i);
    if (!visited[q]) {
      prev[q] = w;
      recurDfs(q, t, visited, prev);
    }
  }
}

每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E表示边的个数。

深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。

visited、prev 数组的大小跟顶点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)。

小结

无向图、有向图、带权图、顶点、边、度、入度、出度。除此之外，我们还学习了图的两个主要的存储方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵存储方法的缺点是比较浪费空间，但是优点是查询效率高，而且方便矩阵运算。邻接表存储方法中每个顶点都对应一个链表，存储与其相连接的其他顶点。尽管邻接表的存储方式比较节省存储空间，但链表不方便查找，所以查询效率没有邻接矩阵存储方式高。针对这个问题，邻接表还有改进升级版，即将链表换成更加高效的动态数据结构，比如平衡二叉查找树、跳表、散列表等。

深度：栈
广度：队列

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A、IDA等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是O(E)，空间复杂度是O(V)。

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